انتخاب فرمول بندی الاستو پلاستیک مناسب برای شبیه سازی شکل دهی ورق ها

امروزه شبیه سازی شکل دهی ورقها ، امکان بررسی رفتار ورق در حین شکل دهی و در نتیجه طراحی ابزار مناسب قبل از فرایند ساخت را فراهم می سازد. این مسئله به ویژه در ساخت قالب قطعات با ابعاد دقیق بسیار حائز اهمیت است و می تواند هزینه های ساخت قالب را بطور قابل ملاحظه ای کاهش دهد. در این میان برای رسیدن به دقت مورد نظر انتخاب یک مدل ریاضی مناسب برای تغییر شکل الاستیک پلاستیک ورق از اهمیت ویژه ای برخوردار است. در این تحقیق مهمترین فرمول بندی های مورد استفاده در تغییر شکلهای الاستوپلاستیک با کرنش های بزرگ در سی سال اخیر مورد بررسی قرار گرفته است. نتایج بدست آمده از این بررسیها نشان می دهد که فرمول بندی ارائه شده توسط Xiao, Bruhns , Meyers(2000) که بطور اختصار X-B-M(2000) نوشته می شود بسیاری از نواقص فرمول بندی های قبلی را برطرف نموده است. در این تحقیق فرمول بندی الاستوپلاستیک X-B-M (2000) برای شبیه سازی شکل دهی ورقها انتخاب شده است. در این فرمول بندی از نرخ تنش لگاریتمی بر مبنای اسپین لگاریتمی و نیز معیار کرنش لگاریتمی استفاده شده است.

در این بررسی همچنین فرمول بندیهای مختلف برای پوسته ها با سه ، پنج ، شش و هفت درجه آزادی مورد بررسی و مقایسه قرار گرفته است.

مقدمه

فرایند شبیه سازی شکل دهی ورق ها به دلیل غیر خطی بودن معادلات حاکم بر آن از جهات مختلف دچار محدودیت می باشد. از یک طرف می بایست یک فرمول بندی ریاضی دقیق و کارآمد را برای مدلینگ رفتار ورق بکار برد و از طرف دیگر تکنیکهای عددی انعطاف پذیر و دقیقی برای حل معادلات مورد نیاز است. موثرترین روش عددی برای حل مسائل الاستوپلاستیک ورقها ، روش المان محدود است. در این روش ابتدا مسئله فیزیکی که شامل تغییر شکل الاستوپلاستیک یک پوسته تحت بارهای معین و شرایط مرزی ویژه ای می باشد، با استفاده از فرضیات ساده کننده به یک سری معادلات دیفرانسیل تبدیل شده و پس از آن معادلات بدست آمده به روش المان محدود حل می شوند. واضح است که روش المان محدود فقط مدل ریاضی انتخاب شده را حل خواهد کرد و کلیه فرض های مورد نظر در این مدل در جواب پیش بینی شده منعکس خواهد شد. در شبیه سازی شکل دهی ورق، نمی توان انتظار اطلاعاتی بیشتر از آنچه که در مدل ریاضی نهفته است را داشت. بنابراین در فرایند شبیه سازی شکل دهی ورقها، انتخاب مدل ریاضی مناسب برای تغییر شکلهای الاستوپلاستیک ، نقش تعیین کننده ای در نتایج بدست آمده خواهد داشت.

در سالهای گذشته به دلیل نبود امکانات سخت افزاری پیشرفته و سریع برای حل مسائل عددی، از اثرات غیر خطی مدلهای ریاضی صرفنظر می شد بگونه ای که با کمترین کوشش جوابهای مناسبی از شبیه سازی بدست آید. اما امروزه به دلیل توسعه سریع و روزافزون سخت افزارهای رایانه ای ، سرعت انجام محاسبات بطور شگفت آوری افزایش یافته است ، لذا ضروریست همگام با پیشرفت های رایانه ای در برنامه های شبیه سازی، از معادلات دقیق تر که اغلب پیچیده هستند استفاده گردد. در این راستا تحقیق حاضر در قالب رساله دوره دکتری با هدف افزایش دقت نتایج شبیه سازی شکل دهی ورقها تعریف شده است.

در این تحقیق ، ابتدا آخرین یافته های علمی در زمینه های مختلف شکل دهی فلزات از قبیل : فرمول بندیهای الاستوپلاستیک ،‌معیارهای تسلیم ، اثر ناهمسانگردی ، فرمولاسیون پوسته ها و برخی محدودیت های فرایند شکل دهی ورقها مورد بررسی اجمالی قرار گرفت . براساس این بررسیها ، نقش فرمول بندی های الاستو پلاستیک در افزایش دقت برنامه شبیه سازی از سایر عوامل مهمتر تشخیص داده شد. لذا ادامه بررسیها بطور گسترده ای در این زمینه متمرکز گردید و نهایتاً فرمول بندی الاستوپلاستیک براساس نرخ تنش لگاریتمی و نیز معیار کرنش لگاریتمی برای شبیه سازی انتخاب گردید.

شبیه سازی شکل دهی ورقها

اولین گزارشها در زمینه شبیه سازی شکل دهی ورق ها توسط Sommer ارائه شده است. پس از آن Swift(1951) بر مبنای فرضیات فراوانی مدل خود را ارائه نمود. به دنبال آنSchofman (1964) با فرض ناچیز بودن تغییرات ضخامت ، ایده خود را که با نتایج واقعی اختلاف زیادی داشت را مطرح کرد. Woo(1964) تغییرات و نیز نحوه توزیع تنش ها را در قسمت مرکزی ورق در حالی که قطعه با سنبه کروی تغییر شکل می یافت محاسبه نمود. در این مدل اثر اصطکاک و کار سختی و نیز تغییر ضخامت در نظر گرفته شده بود. پس از آن Golovilov (1974) با اعمال تئوری تغییر شکل Hill دقت کافی بدست نیاورد. Yoshida نیز با استفاده از تئوری Hill و بدلیل حذف مرحله تغییر شکل الاستیک نتایج دقیقی بدست نیاورد. Wang, Budinsky (1978) با استفاده از تئوری غیرخطی پوسته ها برای مواد الاستو پلاستیک و با در نظر گرفتن اصطکاک کولمب در سطح ورق و ابزار و نیز معیار تسلیم ون میزز ،‌روند تغییرات تنش کرنش را تخمین زدند. Massoni نیز به کمک روش المان محدود و با استفاده از تئوری پوسته ها و اصل کار مجازی برای مواد الاستو پلاستیک ،‌مدل خود را که با نتایج تجربی Ghosh , Hecker (1975) مطابقت قابل قبولی داشت ارائه داد.

Kobayashi , Kim (1978) با فرض رفتار کاملاً پلاستیک ماده ، فرایند شکل دهی ورق با شکل قالب مربعی را که نتایج آن با نتایج تجربی انطباق مناسبی داشت را شبیه سازی کردند. Nakamachi (1988) تحقیقات کاملتری را در زمینه شبیه سازی شکل دهی ورقها انجام داده است. وی با استفاده از تئوری پوسته ها و با در نظر گرفتن اثر کار سختی و ناهمسانگردی و اثرات اصطکاک و شرایط تماسی ،‌تغییر شکل الاستوپلاستیک ورقها را به کمک روش المان محدود شبیه سازی نمود. پس از آن Chung (1988) فرایند شکل دهی ورق به اشکال متقارن با استفاده از سنبه نیمکره در شرایط کرنش صفحه ای را شبیه سازی کرد. وی برای اعمال رفتار ناهمسانگردی ورق ، تئوری Hill را مورد بررسی قرار داد. برای تعریف سطح قالب و سنبه نیز از یکسری خطوط مستقیم و منحنی استفاده نمود. برای تعیین شرایط تماس در هر مرحله از نفوذ سنبه ، مختصات گره های سطح ورق با این خطوط مقایسه شده و شرایط تماس مربوطه هر گره تعیین می گردید. در محاسبات انجام شده از اثر کرنش ضخامتی و نیز خمش صرف نظر شده بود.

در زمینه تئوریهای پلاستیسیته ، معیارهای تسلیم، اثرات ناهمسانگردی پلاستیک و همچنین معیارهای تخریب ورقها در فرایندهای شکل دهی نیز تحقیقات وسیعی انجام گرفته است در سالهای اخیر 2001) ) Zeng, Combescure , Arnaud Eau یک الگوریتم پلاستیسیته برای المانهای پوسته ای برای استفاده در شبیه سازی شکل دهی ورقها پیشنهاد کرده اند. در این تحقیق، الگوریتم محاسبه تنش برایند براساس معیار Ilyushin برای یک ماده الاستو پلاستیک ارتوتروپ توسعه یافته است. Mohammed , Skallerud , Amdahi(2001) نیز با اصلاح سطح تسلیم Ilyushin گوشه های ناپیوسته سطح تسلیم را بوسیله معادله یک بیضی حذف نموده است . Keum , Lee (2000) در شبیه سازی فرآیند شکل دهی ورقهای آلومینیومی روش جدیدی را برای محاسبه ضریب ناهمسانگری نرخ کرنش بارلت ارائه کرده اند . Worswick , Finn (2000)  نیز معیارهای تسلیم مختلف درجه دوم وغیر از آن را برای شبیه سازی سینماتیکی در شکل دهی فلنج مورد استفاده قرار داده و نشان داده است که معیار بارلت اثر ناهمسانگردی را دقیق تر ارائه می دهد .

فرضیات سینماتیکی در تغییر شکلهای الاستوپلاستیک همراه با چرخشها و کرنش های بزرگ

برای تحلیل تغییر شکلهای الاستوپلاستیک همراه با چرخشها و کرنش های بزرگ ، از فرض های سینماتیکی مختلفی استفاده می شود . هدف اصلی از این فرضیات ، تجزیه کمیت های سینتیکی در معادلات بنیادین به بخش های الاستیک و پلاستیک می باشد . تاکنون تجزیه های مختلفی توسط محققین (Clifton 1972  – Green , Naghdi 1971   Labarda, Benson 2001- Lubarda 1999 – Nemat.Nasser 1979, 1982  Xiao , Brahns , Meyers – Fish , Shek 1999 ارائه شده است .

Lee(1969) تجزیه ضربی گرادیان تغییر شکل به بخشهای الاستیک و پلاستیک F=F^eF^p را پیشنهاد کرد. این تجزیه بر اساس وجود یک موقعیت میانی استوار بود. این موقعیت میانی بطور تصوری از باربرداری موقعیت جاری تا تنش صفر و یا بوسیله تغییر شکل پلاستیک خالص در موقعیت اولیه حاصل می گردد , Lubarda 2001 , PP374 Khan, Huang 1995 pp247)

انتخاب فرمول بندی الاستوپلاستیک مناسب برای شبیه سازی شکل دهی ورق ها

همانطور که در مقدمه این تحقیق بیان گردید . در شبیه سازی شکل دهی ورق ها انتخاب مدل ریاضی مناسب برای تغییر شکلهای الاستوپلاستیک ، نقش تعیین کننده ای در نتایج بدست آمده خواهد داشت . با توجه به فرمول بندی های بکار رفته در دو دهه قبل و نیز محدودیت ها و نواقص ذکر شده آنها در بخش قبلی ، در این بررسی فرمول بندی پیشنهاد شده توسط Xiao , Bruhns, Meyers, (2000) (به اختصار X-B-M2000 ) که تاکنون در هیچ مساله عددی مورد استفاده قرار نگرفته است . برای شبیه سازی شکل دهی ورقها انتخاب شده است. در فرمول بندی X-B-M(2000) از معیار کرنش لگاریتمی و نرخ تنش لگاریتمی برمبنای اسپین لگاریتمی استفاده شده است. در این مدل بسیاری از نواقص فرمول بندیهای پیشین مرتفع و از مزیت های آن بهره گیری شده است . باتوجه به پیچیدگیهای این فرمول بندی و ضرورت فهم دقیق آن برای بکارگیری در مسائل عددی . لازم است جزئیات مربوط به این فرمول بندی بدقت تشریح گردد. بدین منظور در ادامه مراحل تکوین فرمول بندی ( X-B-M(2000 با شرح دقیق جزئیات و نیز نتایج محققین دیگر که به نوعی در تکوین این فرمول بندی موثر بوده اند اشاره خواهد شد .

مراحل تکوین فرمول بندی الاستوپلاستیک X-B-M(2000)

کمیت تغییر شکل و نیز چگونگی تغییرات این کمیت بازمان دو موضوع اساسی در سینماتیک تغییر شکل های بزرگ بوده است . اولین موضوع با مقدار کرنش اولری و یا لاگرانژی سروکار دارد در حالیکه دومین موضوع با نوع تغییرات زمانی و یا انواع نرخ های همگرد Objective آنها و نیز تانسورهای چرخش آنها سروکار دارد . معیار کرنش انتخاب شده در فرمولاسیون X-B-M(2000) ، کرنش لگاریتمی اولری  می باشد که B تانسور کاوشی گرین چپ می باشد. کرنش لگاریتمی برای اولین بار توسط Hencky پیشنهاد گردید ، Hill با استفاده از معادلات ریاضی ، رابطه ای پیچیده برای نرخ کرنش لاگرانژی لگاریتمی و تانسور استرچ ارائه داد و چنین اظهار داشت که استفاده از کرنش لگاریتمی یک مزیت ذاتی در نامعادلات بنیادین دارد . به نظر می رسد Gurtin, Spear 1983 اولین کسانی بودند که رابطه بین نرخ کنش لگاریتمی اولری و تانسور استرچ را بدست آوردند .

روش اجرای طرح

در این تحقیق ابتدا با استفاده از فرمول بندی الاستوپلاستیک X-B-M (2000) و نیز فرمول بندی غیر خطی پوسته ها براساس ایده EAS بکار رفته در Roehl , Ramm (1996) ،‌فرایند شکل دهی یک ورق فولادی با مکانیزم سخت شوندگی ایزوتروپ مورد شبیه سازی قرار گرفته و پس از آن نتایج حاصل با نتایج بدست آمده از فرمول بندی های دیگر محققین مورد بررسی قرار خواهد گرفت.