حل علمی مسایل مقدار اولیه-مرزی دستگاه معادلات جزئی بخصوص مراتب بالا و غیرخطی در یک ابرمکعب سیلندری با شبکه‌های عصبی

در این مقاله روش جدید عمومی برای حل علمی مسایل مقدار اولیه- مرزی دستگاه معادلات جزئی بخصوص مراتب بالا و غیرخطی در یک ابرمکعب سیلندری ارائه می شود. این روش یک روش مش- فری بوده و جدایی بفرم بسته تحلیلی تولید میکند. ترکیبی از مفاهیم شبکه های عصبی مصنوعی و ابزارهای بهینه سازی چند بعدی در این روش بکار میرود. بوسیله مفاهیم تقریب توابع چند متغیر، وابسته به مباحث شبکه های عصبی مصنوعی پیشخور و نیز بکمک هم محلی در نقاطی مشخص، حل مسئله مقدار اولیه- مرزی به مسئله بهینه سازی نامتغیر یک تابع انرژی تبدیل می گردد. به عبارت دقیق تر یک جواب آزمون عصبی برای مسئله مقدار اولیه- مرزی متشکل از مجموع دو قسمت در نظر میگیریم: قسمت اول در شرایط اولیه- مرزی (زمانی- فضایی) صدق می کند، درحالیکه قسمت دوم شامل متغیرهای لازم برای مینیمم سازی تابع خطای مسئله می باشد و به کمک یک شبکه عصبی سه لایه و پیشخور شبیه سازی گشته و برای صدق در دستگاه معادلات دیفرانسیل مسئله آموزش میبیند. این روش را میتوان بعنوان تعمیمی مناسب از روشهای معینی در نظر گرفت. کاربرد این روش جدید صرفنظر از نوع شرایط اولیه- مرزی در دامنه ای از یک معادله دیفرانسیل معمولی تا دستگاهی از معادلات دیفرانسیل جزئی متغیر است.

کلمات کلیدی:

• دستگاه معادلات دیفرانسیل جزئی وابسته بزمان
• مسایل مقدار اولیه-مرزی
• شبکه های مصنوعی پیشخور
• یادگیری نظارت بهینه سازی نامقید چندبعدی.

بحث های اولیه در مورد شبکه های عصبی مصنوعی در دهه 40 با معرفی شبکه های عصبی پیشخور آغاز شد. شبکه های عصبی مصنوعی تا حدودی از مغز و سیستم عصبی انسان الگو برداری شده اند و نوعی از روشهای مدل – فری برای پردازش داده، با مقدار حقیقی می باشند که قادرند بر پایه سوابق اطلاعاتی درست از مسئله، جوابهای قابل قبولی ارائه دهند.

مهمترین کاربردهای انواع مختلف شبکه های عصبی عبارتند از: تشخیص گفتار، پردازش تصویر، سیستم کنترل، هوش مصنوعی، تشخیص چهره، جریان سیالات، سریهای زمانی، سیستمهای دینامیکی و . . . .

مراجع متفاوتی شامل منابع نرم افزاری متنوع در مورد تئوری، ریاضیات، مدلسازی، الگوریتم، طراحی، معماری و کاربردهای شبکه های عصبی مصنوعی وجود دارد که برای مطالعه بیشتر میتوان بدانها مراجعه نمود.

شبکه های عصبی از واحدی محاسباتی بنام عصب تشکیل شده اند. هر عصب تعدای ورودی غددی دارد. درون عصب هر ورودی در ضریب عصبی متناظرش که بنانگر ارزش آنست ضرب شده و مجموع همه این مضارب با مقداری بنام اریب جمع میشود. نهایتاً تابع تحریک روی این مجموع اثر گذاشته و خروجی حقیقی عصب را بطور پیشخور تعیین میکند.

معمولا در اکثر کاربردها حداقل شرایط برای شکل تابع تحریک در کلی ترین حالت عبارتست از اس- شکل (زیگموئید) تعمیم یافته بودن، یعنی یکنو (غیر تروپی) بودن تابع و اینکه حد تابع تحریک در مثبت و منفی بینهایت متنهای باشد. دو نوع مناسب از چنین توابعی، تانژانست هیپربولیک و اوژستیک با ضابطه می باشد که ما در استفاده از مورد دوم قرار میدهیم.

در چنین سازمانی برای عصب منظور از یادگیری عبارتست از تعیین مقادیر عددی بهینه ضرایب عصبی، بنحویکه با معلوم بودن ورودیها، خروجی عصب قابل محاسبه باشد. اولین روش یادگیری برای مدل عصبی مذکور به قانون یادگیری عصب معروفست. که چون بر اساس مینیمم سازی میزان اختلاف بین مقادیر محاسبه شده و مطلوب خروجی عصب کار میکند، یادگیری با سرپرست نامیده میشود. قدرت اصلی شبکه های عصبی، نشأت میگیرد. ساده ترین توپولوژی شبکه های عصبی بصورت گروهی از عصبهاست که در یک لایه سامان داده شده و یک یا چند ورودی مشترک دارند و شبکه تک لایه یا پرسپترون نامیده میشوند. (ممکن است خروجی یک عصب وردی عصب یا عصبهای دیگر بوده و شبکه بازگشتی باشد.)

معماری شبکه های عصبی چند لایه از چند شبکه تک لایه به صورت آبشاری به دنبال هم قرار گرفته اند و عصبهای لایه های متوالی حداقل یک ورودی (خروجی) مشترک دارند، تشکیل میشود. در شبکه های عصبی چند لایه و پیشخور که در این مقاله در نظر گرفته می شوند، بازگشتی وجود نداشته و خروجیهای عصبهای هر لایه ورودیهای عصبهای لایه بعدی را تشکی میدهند.

چنین شبکه ای از عصبها پرسپرترون چند لایه نامیده می شود. در معماری پرسپترونهای چند لایه، عصبهایی که به ورودیها متصلند لایه ورودی، عصبهایی که به خروجیها متصلند لایه خروجی و سایر عصبها لایه های میانی (پنهان) را تشکیل میدهند. بدین ترتیب چنین شبکه ای می تواند یک نکاشت غیر خطی از ورودیها به خروجیها برقرار کند. به عبارت دیگر شبکه‌های عصبی پیشخور بصورت یک جعبه سیاه توانایی برقراری ارتباطی نامعین بین ورودیها و خروجیهای یک سیستم را دارا میباشند و ایم امر مناسب است برای تحلیل سیستم هایی که با مسایل مقدار اولیه- مرزی توصیف شده اند که جواب تحلیلی نداشته یا جواب تحلیلی شان به سادگی قابل محاسبه نیست.