هندسه

متدلوژی (روش شناسی)

هندسه قطعات مستقل ادراکی ساده را برای ایجاد با ساختارهای منطقی پیچنده ترکیب می کند. این قطعات مستقل شامل موارد تعریف نشده، اصطلاحات تعریف شده و قضیه ما می باشند. ترکیب این اجزاء زنجیره هایی از برهان ها را بوجود می آورد که نتایج موسوم به قضیه ها را حمایت (تأیید) می کند.

اصطلاحات تعریف نشده :

بعضی از مفاهیم اصلی در هندسه به صورت مفاهیم ساده تری بیان نشده اند. معروفترین آنها نقطه، خط و صفحه است. این مفاهیم اساسی از تجربیات روزانه بوجود آمده است. بنابراین تجربه از مکانی که یک شیئی است منتهی به ایده ای از یک مکان ثابت و دقیق می شود.

آنچه که اصطلاح “نقطه” به آن اشاره دارد مفهوم شهودی و مبتنی بر درک است. اجسام فیزیکی زیادی مفهوم “نقطه” را ارائه می دهند. از جمله گوشۀ یک قطعه، نوک یک مداد و یا نقطه ای روی یک صفحه کاغذ.

این چیزها مذل، نحوۀ نمایش یا تصویر نقطه نامیده میشود. گرچه موارد فوق تقریباً فقط مفهومی در ذهن را ارائه می دهند. بطور مشابه، یک ردیف از نقطه های موجود در یک رشته محکم کشیده شده، لبۀ یک میز یا میلۀ پرچم که بصورت نامحدودی در دو جهت امتداد یافته اند خط نامیده میشود.

واژۀ “صفحه” یک سطح مسطح را توصیف می کند. مانند کف اطاق، صفحۀ نمایش یا تخته سیاه. اما با این فرض که در همۀ جهات بصورت نامحدودی امتداد یافته است. و این بدین معنی است که صفحه هم مانند یک خط که انتها ندارد، لبه ندارد. سایر اصطلاحات تعریف نشده ارتباط بین نقطه ها، خطوط و صفحات را توضیح می دهد مانند ارتباط بیان شده بوسیلۀ این عبارت نقطه ای که روی یک خط قرار می گیرد.”

اصطلاحات تعریف شده :

اصطلاحات تعریف نشده می توانند برای تعریف سایر اصطلاحات ترکیب شوند مثلاً نقاطی در یک خط مستقیم قرار نگرفته اند، همان نقاطی هستند که روی همان خط قرار نمی گیرند. پاره خط بخشی از یک خط است که شامل دو نقطۀ خاص است و همۀ نقطه ها بین آن دو نقطه خاص قرار می گیرد.

در حالیکه (ray) بخشی از یک خط است که شامل نقطۀ خاص موسوم به نقطۀ انتهایی و همۀ نقاطی است که بطور نامحدودی در یک طرف نقطۀ انتهائی امتداد یافته اند.

اصطلاحات تعریف شده می توانند با یکدیگر و با اصطلاحات تعریف نشده به منظور تعریف اصطلاحات بیشتر ترکیب شوند.

قضیه ها:

قضیه ها، یا اصل ها، ثابت نشده اند اما فرضیه هایی هستند که پذیرفته شدۀ جهانی هستند. مثلاً “فقط و فقط یک خط وجود دارد که از دو نقطۀ معین می گذرد”. سیستم متشکل از یک سری قضیه های نامتناقض اصول کلی راجع به اصطلاحات تعریف نشدۀ نقطه، خط و صفحه را با قضیه های استنباط شده از این اصول کلی را هندسه گویند .

مجموعه های متفاوت قضیه ها کل سیستمهای متفاوت هندسه را تعیین می کنند. اگر قصیه های انتخاب شده بوسیلۀ تجربۀ فضای فیزیکی ارائه شوند، بنابراین بطور منطقی انتظار می رود تا نتایج بدقت با تجربیات مربوط به فضا ارتباط نزدیکی داشته باشد. اما چون هر سری از قضیه ها حتماً باید بر اساس مشاهدۀ ناقص و تقریبی انتخاب شوند بنابراین آنها به احتمال زیاد برای فضای واقعی بطور تقریبی قابل اعمال هستند.

بنابراین تعجب آور نیست که هر هندسه خاصی برای مسائل فضای واقعی غیر کاربردی یا فقط تا حدی کاربردی از کار درآید.

برهان ها:

برهان بطور منطقی از قضیه ها نتیجه گیری میوند. این فرآیند نتیجه گیری و قیاس یک دلیل (ثبات) نامیده میشود. هر مرحله از یک برهان باید بوسیلۀ یکی از قضیه ها یا بوسیلۀ یک برهانی که قبلاً ثابت شده است توجیه شد. یک برهان ساده به عنوان مثال اثبات می کند که یک خطی که با یکی از دو خط موازی است با هر دو خط هم موازی است. خطوط موازی خطوطی هستند همیشه در تمام طول خود به یک اندازه از هم فاصله دارند.

در اثبات یک برهان در هندسه، ما از یک سری از قضیه ها نتیجه ای را استنباط می کنیم.

هندسۀ اقلیدسی

شاید آشناترین هندسه و هندسه شهودی و مبتنی بر درک هندسۀ اقلیدسی نامیده شود. هندسه اقلیدسی همیشه جنبه های جهان هر روزه را شامل می شود و بعداً از اقلیدس، ریاضی دان یونان باستان که آن را پایه گذاری کرد، نامگذاری شد در حالیکه قضیه های هندسۀ اقلیدسی بنظر پذیرفتنی هستند وقتی که برای فضای فیزیکی جهان ما بکار برده میشود. شواهدی وجود دارد که هندسۀ اقلیدسی سیستم کاملی برای توصیف فضا نیست.

هندسه اقلیدسی دو بعدی اغلب هندسۀ سطح نامیده می شود. هندسۀ اقلیدسی سه بعدی اغلب اشاره به هندسۀ فضایی (سه بعدی) دارد. هندسۀ مسطح اشکالی را مورد بررسی قرار می دهد که بطور کامل در یک سطح قرار دارند. یک سطح ممکن است بر حسب دو بعد طول و عرض اندازه گیری شوند. هندسۀ فضائی (سه بعدی) اشکالی را مورد بررسی قرار می دهد که سه بعد دارند : طول، عرض و ارتفاع مقاطع مخروطی، یک موضوع مطالعه شده رایج هندسه، خطوط منحنی دو بعدی هستند که بوسیلۀ برش یک صفحه از میان یک مخروط تو خالی سه بعدی بوجود می آید.

پیشینه هندسه

اشتقاق واژه هندسی – از واژه های یونانی ژئو – زمینی و مترین مورد سنجش قرار دادن یک توصیف واقعی از آثار هندسه دانهای اولیه است که با مسائلی چون سنجش اندازه میدانها و قرارگیری زوایای قائم برای گوشه های ساختمان ها علاقه مند شدند.

در مصر باستان به عنوان نمونه که رود نیل به صورت متناوب به سمت سواحل طغیان میکرد. هندسه استفاده شد تا خطوط مرز روی طرحهای زمین واقه شده است در سیل را مجدداً باسازی کنند.

این نوع هندسه آزمایش (مبتنی بر تجربه) که در مصر باستان سومر و بابل آغاز گردید و شکوفا شد و توسط یونانیها اصلاح و قاعده مند شده.

هندسه در مصر باستان

نخستین هندسه دانان مهم ذکر شده در تاریخ تالز میلتوس است. یونانی ای که حدود 600 سال قبل از میلاد زندگی می نموده تالز با چندین قضیه ساده اما مهم اعتبار پیدا می کند مثل اثباتی که یک زاویه در یک نیم دایره یک زاویه قائم است.

وی نخستین فرد هندسی دانی بود که واقعیت یک رابطه هندسی را با نشان دادن این که در یک سبک منطقی از یک دسته صورت جهانی مورد پذیرش دنبال شده قضیه های بدیهی نامیده شد.